距離，角度，二面角の測定と変更

距離の測定と変更

2 原子の指定法

まず，操作の対象とする 2 原子をピックします．
画像は，ジクロロエタンで 2 個の炭素原子をピックしていくところ（ 1 → 2 → 3 ）と解釈してください．

原子間距離を測定する場合は，2 原子は共有結合している必要はありません

結合距離を変更するためのピックには，条件が付きます．

• 共有結合していること
• 環の一部でないこと

原子間距離の測定

2 原子をピックして水平ツールバーの [距離を測定] ボタンをクリックすると，2 原子間の距離（Å）がポップアップウィンドウに表示されます．
この例では，距離は 1.54 Å と測定されました．

マウスで結合距離を変更

1. 2 原子をピック
2. 水平ツールバーの [距離を変更] ボタンをクリック
3. マウスの左ボタンを押したままドラッグ

この際，後でピックした側の領域が平行移動します．
「距離を変更」の状態は，マウスのボタンを離すと解除されます（ピックは維持されます）．

値を指定して結合距離を変更

2 原子をピックしてメニューの [値を指定して結合距離を変更] を実行すると，数値の入力を求めるウィンドウが表れます．
設定できる数値は，1.0 〜 10.0 です．
画像は，1.0 と入力したところです．
この状態で [実行] ボタンを押すと，後でピックした側の領域が平行移動して結合距離が変更されます．

距離を測定するプログラムの例

ピックされた 2 原子の位置ベクトルの差を求め，そのノルムを求めれば OK です．
Eigen を使う例をコードで書いてみると，

#include <Eigen/Dense>

double measure_distance(const Eigen::Vector3d *v0, const Eigen::Vector3d *v1) {
 return (*v1 - *v0).norm();
}

結合距離を変更するアルゴリズムの例

Builcule 内部では次の処理をおこなっています．

1. 後からピックされた側の領域を選択します
2. ピックされた 2 原子の位置ベクトルの差ベクトルを求め，必要なノルムに変更します
3. 1. で選択した領域の原子の座標に，2. で作成したベクトルを加えます

角度の測定と変更

3 原子の指定法

まず，操作の対象とする 3 原子をピックします．
画像は，ジクロロエタンで 3 個の炭素原子をピックしていくところ（ 1 → 2 → 3 → 4 ）と解釈してください．

角度を測定する場合は，原子どうしが共有結合している必要はありません．

結合角を変更するためのピックには，条件が付きます．

• 直列に結合していること
• 環の一部でないこと

3 原子が成す角度の測定

3 原子をピックして水平ツールバーの [角度を測定] ボタンをクリックすると，3 原子の成す角度（°）がポップアップウィンドウに表示されます．
この例では，角度は 109.471 °と測定されました．

マウスで結合角を変更

1. 3 原子をピック
2. 水平ツールバーの [角度を変更] ボタンをクリック
3. マウスの左ボタンを押したままドラッグ

この際，後でピックした側の領域が回転します．
「角度を変更」の状態は，マウスのボタンを離すと解除されます（ピックは維持されます）．

値を指定して結合角を変更

3 原子をピックしてメニューの [値を指定して結合角を変更] を実行すると，数値の入力を求めるウィンドウが表れます．
設定できる数値は 0°〜 180°です．
画像は，90.0 と入力したところです．
この状態で [実行] ボタンを押すと結合角が変更されます（後でピックした側の領域が回転します）．

角度を測定するプログラムの例

C++ と Eigen を使った，角度を返却するコードです．
原子の座標（3 個の位置ベクトル）を v0, v1, v2 とします．

#include <Eigen/Dense>

double measure_angle(const Eigen::Vector3d *v0, const Eigen::Vector3d *v1, const Eigen::Vector3d *v2) {
 Eigen::Vector3d vect0(*v0 - *v1);  //v1 → v0 ベクトル
 Eigen::Vector3d vect1(*v2 - *v1);  //v1 → v2 ベクトル
 vect0.normalize();  //正規化
 vect1.normalize();  //正規化
 double cos = vect0.dot(vect1);  //内積．ベクトルが正規化されているので，そのままコサイン値
 double angle = acos(cos);  //逆三角関数でラジアンに変更
 if(isnan(angle) || isinf(angle))
  return 0.0;
 return angle;
}

結合角を変更するアルゴリズムの例

画像は角の変更法を概念的に表したものです．
これを使い，Builcule での，原子 A，B，C の成す結合角を変更するための考え方を下に記します．

1. 回転すべき対象を定めます．ここでは原子 C です．一般的には C に結合した B 以外の原子も含みます
2. 回転の中心を B とします
3. 回転軸を定めます．ここでは，ベクトル BA を正規化したものとベクトル BC を正規化したものとの外積を正規化したものとします．図では赤い矢印で示しました
4. 回転させたい角度に応じた回転行列を作成します
5. 回転の中心原点に来るように，回転すべき対象を平行移動します
6. 回転行列と回転すべき対象の座標を掛け算します
7. 回転すべき対象を，元の位置に平行移動します

二面角の測定と変更

4 原子の指定法

まず，操作の対象とする 4 原子をピック（原子をクリックして赤紫に表示）します．
画像は異時同図法で，ジクロロエタンの 4 個の原子を，2 → 3 → 4 → 5 の順にピックしていくところと解釈してください．

二面角を測定する場合は，原子どうしが共有結合している必要はありません．

二面角を変更するためのピックには，条件が付きます．

• 直列に結合していること
• 環の一部でないこと

4 原子が成す二面角の測定

4 原子をピックして水平ツールバーの [二面角を測定] ボタンをクリックすると，4 原子の成す二面角（°）がポップアップウィンドウに表示されます．

マウスで二面角を変更

1. 4 原子をピック
2. 水平ツールバーの [二面角を変更] ボタンをクリック
3. マウスの左ボタンを押したままドラッグ

この際，後でピックした側の領域が回転します．
「二面角を変更」の状態は，マウスのボタンを離すと解除されます（ピックは維持されます）．

値を指定して二面角を変更

4 原子をピックしてメニューの [値を指定して二面角を変更] を実行すると，数値の入力を求めるウィンドウが表れます．
画像は，90.0 と入力したところです．
設定できる数値は，0°〜 360°です．

この状態で [実行] ボタンを押すと二面角が入力した数値に変更されます．
変更後，ピックは維持されます．

二面角を測定するアルゴリズム

画像は二面角の測定法を概念的に表したものです．
点 A，B，C，および D が成す二面角というのは，点を A → B → C → D の順で考えたとき，
点 A，B，C が成す平面と，点 B，C，D が成す平面をイメージしたときに，これらの 2 面が成す角度のことです．
Builcule では，それぞれの面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を求め，それらが成す角を求めています．

画像は二面角の測定法を概念的に表したものです．
4 点 A，B，C，および D を A → B → C → D の順でピックされたとします．
このとき，

• 点 A，B，C が成す平面
• 点 B，C，D が成す平面

をイメージしてください．
二面角というのは，これらの 2 面が成す角度のことです．

Builcule では，それぞれの面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を求め，それらが成す角を求めています．

図では，2 本の法線ベクトルを赤い矢印で示しました．
左側の法線ベクトルは，ベクトル BA と ベクトル BC の外積です．
右側の法線ベクトルはベクトル CB と ベクトル CD の外積です．

Builcule では，線形代数ライブラリ Eigen の cross() という外積を返す関数を使い，
Eigen::Vector3d (外積ベクトル B) = (ベクトル BA).cross(ベクトル BC);
Eigen::Vector3d (外積ベクトル C) = (ベクトル CB).cross(ベクトル CD);
といった感じでコーディングしています．

これは内積で求まります．Eigen での内積を求める関数は dot() です．
標準化しておけば，内積がそのままコサインの値になります．
(外積ベクトル B).normalize();
(外積ベクトル C).normalize();
(二面角のコサイン) = (外積ベクトル B).dot(外積ベクトル C);

二面角を変更するアルゴリズム

図は，二面角変更の概念図です．
これを使い，Builcule での，原子 A，B，C，D の成す二面角を変更するための考え方を下に記します．

1. 回転すべき対象を定めます．図では原子 D です．一般的には，D と結合した C 以外の原子も含まれます
2. 回転の中心を C とします
3. 回転軸を定めます．ここでは，ベクトル BC を正規化したものとします．図では赤い矢印で示しました
4. 回転させたい角度に応じた回転行列を作成します
5. 回転の中心が原点に来るように，回転すべき対象を平行移動します
6. 回転行列と回転すべき対象の座標を掛け算します
7. 回転すべき対象を，元の位置に平行移動します